Teorema del muestreo y el teorema de Nyquist

José Javier Cortes Márquez  

TEOREMA DE NYQUIST CON EXPLICACIÓN SENCILLA

Con el avance de la tecnología, tanto la información como su transmisión, han evolucionado de forma notable. Una de las formas de transmisión de esta es a través de la señal analógica. Existe un postulado, conocido como el teorema de Nyquist o teoría del muestreo de Nyquist que se encuentra fuertemente relacionada con este término.

En algún momento de nuestras vidas hemos escuchado hablar sobre la señal analógica. Aunque no nos demos cuenta, esta está presente en cosas o situaciones tan cotidianas. Tal es el caso de la luz, el sonido, la energía e incluso en la descomposición que sufre la luz cuando aparece el arco iris. Y es que en la naturaleza, en la mayoría de los casos, el conjunto de señales que percibimos son de tipo analógica, ya que sufren una variación continua.

Otros ejemplos de señales analógicas, lo constituyen: una onda sinusoidal que no es más que una señal analógica de una sola frecuencia. También encontramos los casos de los voltajes de la voz o del video. Estos varían de acuerdo con el sonido o variaciones de la luz que van en correspondencia con la información que para ese momento se está transmitiendo.

Es posible definir una señal analógica desde el punto de vista matemático. En tal sentido, esto da  aquella señal formada por una función matemática de tipo continua en la cual la variable se encuentra simbolizada por el periodo y la amplitud y de igual forma el tiempo constituye la base. Esto generalmente favorece la generación de un fenómeno de tipo electromagnético.

Teorema de Nyquist

Cuando hablamos del estudio de la señal analógica, debemos pensar en Harry Nyquist. Este fue un ingeniero y físico de origen sueco y estadounidense, el cual tuvo una notable participación en el desarrollo de la teoría de la información. Uno de sus aportes más importantes, lo constituye lo que conocemos como la teoría del muestreo de Nyquist o teorema de Nyquist.

Antes de describir la teoría de Nyquist, es importante que conozcamos que es el muestreo. Cuando utilizamos este término, nos referimos al proceso de conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto. Para realizar esta conversión se hace necesario, la escogencia de muestras periódicas de esa señal continua, en determinados períodos de tiempo.

Recordemos que, esta teoría afirma que, “toda señal analógica puede ser reconstruida, sin error, de muestras tomadas en iguales intervalos de tiempo. La razón de muestreo debe ser igual, o mayor, al doble de su ancho de banda de la señal analógica». La llamada teoría del muestreo, indica que cuando se trata de una señal de ancho de banda limitado, la frecuencia de muestreo (fm), debe ser mayor que dos veces su ancho de banda.

Aplicación del teorema de Nyquist

Con frecuencia, el teorema de Nyquist suele aplicarse en distintas áreas. La música es una de las más resaltantes, En este caso, en muchas ocasiones se hace necesario hacer la conversión de material analógico, como discos de acetato, cassetes, cintas magnéticas, a formato digital como CD, DVD. Para esto, los ingenieros de sonido requieren definir el rango de frecuencia de interés.

Por esta razón, antes de que sea muestreada la señal, se hace uso de lo que conocemos como los filtros analógicos. La finalidad es remover los componentes de frecuencias fuera del rango de interés.

Otra de las aplicaciones de esta teoría, se puede observar en los osciloscopios digitales. Estos son instrumentos a través de los cuales se puede visualizar y medir una señal eléctrica. Para lo cual se hace uso de la señal de entrada.

Otros nombres asociados con la teoría de Nyquist

La teoría de Nyquist, la cual se ha convertido en un importante principio de la teoría de la información. Principalmente en lo que tiene que ver con las telecomunicaciones, se le han dado múltiples nombres. Dentro de estos podemos mencionar: el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon y quizás el más conocido criterio de Nyquist.

Historia del teorema de Nyquist

Esta teoría fue propuesta y desarrollada por primera vez en «Certain topics in telegraph transmission theory» en forma de hipótesis en el año 1928 por el ingeniero y físico Harry Nyquist. Posteriormente fue probado y demostrado de forma matemática en 1949 por el matemático estadounidense Claude Shannon en «Communication in the presence of noise».

Sin embargo, es importante tener en cuenta que, antes de la propuesta hecha por Nyquist, ya existían antecedentes de esta teoría. Y es que matemáticos de la talla de Laplace, Cauchy, Borel, Lagrange y Fourier habían sentado previamente las bases para este y otros teoremas.

Finalidad del teorema de Nyquist

Es de hacer notar que la finalidad del teorema de Nyquist, consiste en demostrar que la reconstrucción exacta de una señal de tipo periódica que es continua en banda base a partir de sus muestras es posible desde el punto de vista matemático, solo sí la señal está limitada en banda y al mismo tiempo la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

En el caso de las llamadas funciones pasabajos necesarias en la ingeniería de comunicaciones, la teoría de Nyquist se convierte en un proceso de vital importancia. A través de esta se pueden establecer vínculos entre las señales continuas con las discretas.

Diferencias entre cuantificación y teorema de Nyquist

Es importante diferenciar entre el teorema del muestreo y la cuantificación, ya que esta última es un proceso que ocurre posterior a la aplicación de la teoría del muestreo, para que luego suceda la digitalización de una señal. A diferencia de este teorema, la cuantificación no es reversible, ya que en esta se produce una pérdida de información.

Es de hacer notar que, la pérdida de información durante este proceso se conoce con el nombre de error o ruido de cuantificación. Establece un límite teórico que resulta superior a la relación señal-ruido. En otras palabras, las muestras de una señal, se caracterizan por ser valores exactos, que no han sido cuantificados. Es decir, han sido sometidos a la técnica del redondeo o truncamiento.